足して２で割るだけじゃない!? もうひとつの平均“相乗平均”を理解しよう！

こんにちは！ライターの小林です。

いきなりですが、問題です。
以下に、Ａ町～Ｃ町の人口データがあります。
平均値をお答えください。

答えは簡単、15万人ですね。

さすがに間違えた人はいなかったでしょう！

続いて、こちらはどうでしょう。
例えばある基準年から見た、ある地区の人口増加率です。
３年間の人口増加率の平均はいくつでしょうか？

答えは・・・1.5倍？

そう回答されたあなた！　この続きを見て私と一緒に勉強しましょう！
「足して割る」だけが平均値ではないのです。

変化率など、掛け算の場合の平均“相乗平均”！

足して、足した数で割る平均には名前があり、「相加平均（算術平均）」と言います。

一般的な平均といったらコレですね。説明不要です。

一方、今回の“人口増加率”のように、一定期間の変化率等の平均を求めるためには、
「相乗平均（幾何平均）」を使います。

計算の数式はこちら。

数式を見て脱落しないでくださいね。

なぜ掛けてルートにすると平均になるのか？

例題で順番に考えます。

下の図のように、基準値χが、α₁倍、α₂倍、α₃倍していくと、χ₃になることが分かっています。

χをA倍するとχ₃になることも併せて考えます。

α₁、α₂、α₃は、それぞれχの変化率だと考えるとイメージしやすいかもしれません。
ここで気付くと思いますが、【×A】と【×α₁×α₂×α₃】倍は同じであることが分かりますね。

数式にするとこんな感じ。

両辺とも①と②に【χ】をかけているだけなので、答えは同じはずですね。

今、②のα₁とα₂、α₃はそれぞれ違う数字を仮定しています。

この平均を考えるためには、

どのような同じ値を３回掛ければ【A】になるのか？を考えればいいことになります！

ルート（√）の復習

ちょっと寄り道してルート（√）の復習です。

√100の答えは分かりますか？
正解は【10】ですね。
頭の中でどんな計算をしましたか？

「えーっと、同じ数同士を掛けて（２乗して）【100】になる数だから・・・」

おそらくこんな感じでしょう。

２乗したらある値になるもの、
これを√で表記するということでした。

３乗したらある値になるもの、これも√で表現できることを覚えていますか？

表記はこんな感じ。

これは、３乗したら８になる数を表現しています。
答えは２ですね。

※n乗してAになる数を【Aのn乗根】と言います。

詳しく知りたい方は“累乗根”で調べてみてくださいね。

累積根は掛け算の平均値！

・・・・ところで、勘の良い方は気付いたでしょうか？

「いったい何のこと？」という方、

この数式をみて何か気付きませんか。

そう！

Aのn乗根とは「どのような同じ値をn回掛ければAになるのか」という考え方でした！

先ほど残した課題、
「どのような同じ値を３回掛ければ【A】になるか」と同じですね。

つまり、掛け合わせた合計数値の累乗根が、掛け算の場合の平均
＝　“相乗平均”というわけです。

もう一度先ほどの相乗平均の数式を見てみましょう。
今度はすんなり受け入れられるのではないでしょうか。

変化率の平均値の計算、もう間違えませんね。

答え合わせ！

さて、  最初に出した例題を考えて見ましょう。

この表の“相乗平均”を計算すると、【1.463….】が導き出されます。
※ExcelではGEOMEAN関数で相乗平均が計算できます。

たとえば基準の数値を1,000として、この増加率を当てはめてみましょう。

そのうえで、相加平均と相乗平均の結果を比較してみます。

３年目の数値は、相加平均ではなく相乗平均が見事に一致します。

これまでの内容を理解された方なら、当たり前の結果であることがわかりますよね。

安易に相加平均をしてしまうと、相乗平均より大きな数値になってしまうので注意が必要です。

まとめ

今日は、慣れ親しんだ平均とは違う“相乗平均”を勉強しました。

実はその他にも、いろんな平均があります。

速さの平均などで使われる“調和平均”、集団ごとの人数差を考慮する“加重平均”　など。

正確なデータ分析のためには平均一つとっても注意しないといけませんね。

文系の私は、統計・数学は日々勉強です。

悩める文系の皆様！いっしょにがんばりましょう！

この記事を書いた人

小林　　寿名古屋事務所　企画課

専門統計調査士、ＭＵＤアドバイザー 主に市町村の社会調査・計画策定コンサルティングに従事 データビジュアライゼーションやオープンデータ利活用が得意分野